Bukti himpunan

Buktikan

1. jika A subset B, maka komplemen B (comp(B)) subset dari Komplemen A (comp(A))

2. (AxB)-(AxC)=A x (B-C)

3. jika A C = B C dan A C =  B C, maka A = B.

JAWAB :

1. A B, maka comp(B) comp(A)

bukti :  A B, maka, 

            misal x A maka x B, oleh karena itu 

            misal x bukan anggota B, maka x bukan anggota A,

            dan kita tahu bahwa jika x bukan anggota B maka x comp(B), 

            begitu juga untuk A, maka, jika x comp(B), maka x comp(A), 

            dari definisi himpunan bagian maka comp(B) comp(A). QED.

2. (AxB)-(AxC)=A x (B-C)

bukti : untuk diatas kita hrus buktikan bahwa (AxB)-(AxC) A x (B-C) dan sebaliknya A x (B-C) (AxB)-(AxC).

a. untuk A x (B-C) (AxB)-(AxC)
misal, (x,y) A x (B-C) <=> x A, y (B-C)
                                        <=> x A, y B, y bukan anggota C

                                        <=> x A, y B , x A, y bukan anggota C
                                        <=> (x,y) (AxB) , (x,y) bukan anggota (AxC)
                                        <=> (x,y) (AxB)-(AxC)
jadi terlihat bahwa,  A x (B-C) (AxB)-(AxC)
b. untuk (AxB)-(AxC) A x (B-C)

caranya sama dengen diatas, kalau dak ada idenya dibalik aja dari bawah ke atas dan nanti terlihat bahwa  (AxB)-(AxC) A x (B-C). QED.

jadi, berdasarkan a dan b terbukti bahwa (AxB)-(AxC)=A x (B-C)

3. jika A C = B C dan A C =  B C, maka A = B.
bukti : A = A (A C) = A (B C)
               = (A B) (A C)
               = (A B) (B C)
               = B (A C)

               = B (B C)
               = B, QED.